Finite Mathematik Beispiele

$103 + x^{2} = 47 + \frac{5}{2} x^{2}$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{2}$ .

$103 + x^{2} = 47 + \frac{5 x^{2}}{2}$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\frac{5 x^{2}}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$103 + x^{2} - \frac{5 x^{2}}{2} = 47$

Schritt 2.2

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$103 + x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 x^{2}}{2} = 47$

Schritt 2.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$103 + \frac{x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{5 x^{2}}{2} = 47$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$103 + \frac{x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2} = 47$

Schritt 2.5

Subtrahiere $5 x^{2}$ von $x^{2} \cdot 2$ .

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Schritt 2.5.1

Stelle $x^{2}$ und $2$ um.

$103 + \frac{2 \cdot x^{2} - 5 x^{2}}{2} = 47$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $5 x^{2}$ von $2 \cdot x^{2}$ .

$103 + \frac{- 3 \cdot x^{2}}{2} = 47$

Schritt 2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$103 - \frac{3 x^{2}}{2} = 47$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $103$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{3 x^{2}}{2} = 47 - 103$

Schritt 3.2

Subtrahiere $103$ von $47$ .

$- \frac{3 x^{2}}{2} = - 56$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3} (- \frac{3 x^{2}}{2}) = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Schritt 5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $- \frac{2}{3} (- \frac{3 x^{2}}{2})$ .

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Schritt 5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{3} (- \frac{3 x^{2}}{2}) = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Schritt 5.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x^{2}}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2}}{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Schritt 5.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2}}{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Schritt 5.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2}}{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Schritt 5.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3} (- 3 x^{2}) = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Schritt 5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{- 1}{3} (3 (- x^{2})) = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Schritt 5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3} (3 (- x^{2})) = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Schritt 5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - x^{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Schritt 5.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 5.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x^{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Schritt 5.1.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} = - \frac{2}{3} \cdot - 56$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere $- \frac{2}{3} \cdot - 56$ .

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 56$ mit $- 1$ .

$x^{2} = 56 (\frac{2}{3})$

Schritt 5.2.1.2

Kombiniere $56$ und $\frac{2}{3}$ .

$x^{2} = \frac{56 \cdot 2}{3}$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $56$ mit $2$ .

$x^{2} = \frac{112}{3}$

Schritt 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{112}{3}}$

Schritt 7

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{112}{3}}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe $\sqrt{\frac{112}{3}}$ als $\frac{\sqrt{112}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{112}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $112$ als $4^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 7.2.1.1

Faktorisiere $16$ aus $112$ heraus.

$x = \pm \frac{\sqrt{16 (7)}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 7}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $\frac{4 \sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 7.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 7.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 7.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 7.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 7.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{7} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3 \cdot 7}}{3}$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{21}}{3}$

Schritt 8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{4 \sqrt{21}}{3}$

Schritt 8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{4 \sqrt{21}}{3}$

Schritt 8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{4 \sqrt{21}}{3}, - \frac{4 \sqrt{21}}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{4 \sqrt{21}}{3}, - \frac{4 \sqrt{21}}{3}$

Dezimalform:

$x = 6.11010092 \dots, - 6.11010092 \dots$